Моделирование системы из 3-х популяций - хищника и 2-х жертв

[Alexy]

Для удобства начинаю новую тему, которая фактически является продолжением старой большой темы Конкурующие виды и биоразнообразие. Ниши или нейтральность

Когда-то слышал (на лекции у киевского эколога Виталия Алексеевича Межжерина), что был такой эксперимент с интересным тезультатом

Вначале бралась система из каких-то 2-х конкурирующих видов и питательной среды. Через некоторое время один из видов полностью вытеснял другого

Затем для сравнения бралась система с точно такими же начальными параметрами, но добавлялся еще какой-то вид-хищник (или паразит). В этом случае ни один из 3-х видов не вымирал до конца.

дЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ были подобные эксперименты с такими результатами?

У Базыкина в "Нелинейная динамика взаимодействующих популяций" (которую легко скачати) пишется, что и в эксперименте и из мат моделирования (из системы уравнений 5.3.7 на стр 189 в упомянутой книге) показано, что при некоторых значениях парваметров присутствие хищника в сообществе 2-х конкурирующих видов жертв может обеспечить (длительное? или бесконечное?) сосуществование этих 2-х жертв, невозможное при отсутсвиии хищника

В книге "Community Ecology" Peter J. Morin приводится обзор по этому вопросу (вот тут можно почитать весь раздельчик 5.3 на books.google)

Но мне так и не понятно, может ли сосуществование 2-х жертв, которое без хищника невозможно, быть при наличии хищника ВЕЧНЫМ?
Или это возможно лишь в непрерывной модели в диф ур-ях,
а в моделях, где учитывается дрейф - невозможно?

[Alexy]

И такой чисто технический вопррос
ъА мог бы кто-то объяснить, что означают линии со стрелочками на фазовых портретах на рисунках 9.9 и 9.10 отсюда http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/lect09.htm ?

И в Базыкине например на стр 194 есть фазовые портреты такого "стиля"

Что на всех этих рисунках отложено по координатным осям?
Х и y?

[AdmiralHood]

И такой чисто технический вопррос
ъА мог бы кто-то объяснить, что означают линии со стрелочками на фазовых портретах на рисунках 9.9 и 9.10 отсюда http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/lect09.htm ?

И в Базыкине например на стр 194 есть фазовые портреты такого "стиля"

Что на всех этих рисунках отложено по координатным осям?
Х и y?

По координатным осям отложены численности популяций. Линии со стрелками - это как эволюционирует численность популяций со временем. Если вы возьмёте две популяции численностью x0 и y0 и начнёте следить за изменением численности, откладывая на графике точки, то получится линия, показывающая ход эволюции системы. Стрелочка показывает направление движения системы по этой линии.

[Alexy]

Спасибо!
А на рисунках 9.9 и 9.10 из http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/lect09.htm стрелочки на координатных осях что означают? То же самое, что Вы написали, но при бесконечно малых значениях численности одной из популяций?

А полукруглая линия протягивающаяся от ординаты до абсциссы и являющаяся правой верхней границей этих треугольных рисунков, что символизирует?

Почему рисунки со стр 194 из Базыкина имеют другой (не треугольный) вид?

[AdmiralHood]

Спасибо!
А на рисунках 9.9 и 9.10 из http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/lect09.htm стрелочки на координатных осях что означают? То же самое, что Вы написали, но при бесконечно малых значениях численности одной из популяций?

А полукруглая линия протягивающаяся от ординаты до абсциссы и являющаяся правой верхней границей этих треугольных рисунков, что символизирует?

Почему рисунки со стр 194 из Базыкина имеют другой (не треугольный) вид?

Когда рассматриваете такого рода рисуночки, всегда надо помнить, что в действительности эти линии со стрелочками заполняют собой всё пространство. Просто для больше наглядности рисуют не все линии, а только самые характерные. Точно так же, например, на географических картах линии постоянной высоты или глубины рисуют, скажем, через 50 м. А если их нарисовать через 1 см, они заполнят собой всю географическую карту. Точно так же электрические и магнитные поля в учебнике физики рисуют небольшим числом линий, хотя поле существует в каждой точке пространства.

Поэтому треугольно-полукруглый вид диаграм - это читая условность. Единственное ограничение для этого графика x>0 и y>0. Мы можете, например завезти на территорию, где происходит исследуемый процесс, миллион антилоп (x = 1 000 000) и миллиард кроликов (y = 1 000 000 000). Эта точка будет лежать далеко за пределами полукруга (точнее, четвертькруга). Однако антилопы и кролики в таком количестве будут массово вымирать от голода и эпизоотий, поэтому линия процесса поползёт к началу координат и в конце концов войдёт в область круглого треугольника, где и происходят все самые интересные процессы.

Стрелочки на координатных осях - это тоже линии, но вырожденные, когда есть только один вид, а вторая переменная равна нулю. Но почти параллельно им и очень близко к ним должны идти другие линии, где популяция второго вида уже есть, но она мала.

[Alexy]

в действительности эти линии со стрелочками заполняют собой всё пространство
Просто для больше наглядности рисуют не все линии, а только самые характерные

Точно так же, например, на географических картах линии постоянной высоты или глубины рисуют, скажем, через 50 м. А если их нарисовать через 1 см, они заполнят собой всю географическую карту
Точно так же электрические и магнитные поля в учебнике физики рисуют небольшим числом линий, хотя поле существует в каждой точке пространства.

Поэтому треугольно-полукруглый вид диаграм - это читая условность. Единственное ограничение для этого графика x>0 и y>0

Стрелочки на координатных осях - это тоже линии, но вырожденные, когда есть только один вид, а вторая переменная равна нулю. Но почти параллельно им и очень близко к ним должны идти другие линии, где популяция второго вида уже есть, но она мала

Но от полукруглой (правой верхней) стороны треугольника на рисунках 9.9 и 9.10 из Ризниченка отходит НЕ ПЛАВНО, А ПОД УГЛОМ линия! Это очевидно значит, что эта точка тройного сочленения линий является (судя по терминологии вики про особые точки) "седлом"

Почему же тогда для полноты картины не показаны, линии, идущие от этой точки вправо-вверх?
(Кстати есть и другая точка сочленения трёх линий, тоже с угловатым, а не плавным разветвлением - она лежит на вырожденной линии (лежащей на координатной оси Х) и явно является "седлом", но лежащая ниже оси Х его часть не показана понятно почему - потому что Y не может быть <0)


Или может быть "полукруглая сторона треугольника" показана с какими-то искажениями и/или  в другом масштабе по сравнению с другими линиями?

А как понимать рисунок из моего предыдущего сообщения, где диаграммы имеют по 2 вертикальных оси справа и слева?

[AdmiralHood]

Думаю, что это не седло, это точка на склоне. Из седловой точки по определению линии должны выходить в обе стороны - в одну сторону от перевала или в другую. Тогда по обе стороны от седалища должны быть центры притяжения - устойчивые точки или циклы. Здесь же на рисунке только одна устойчивая точка. Поэтому линия из этой точки должна идти не вправо-вверх, а входить в неё справа-сверху.

[AdmiralHood]

.

[Alexy]

Думаю, что это не седло, это точка на склоне. Из седловой точки по определению линии должны выходить в обе стороны - в одну сторону от перевала или в другую. Тогда по обе стороны от седалища должны быть центры притяжения - устойчивые точки или циклы. Здесь же на рисунке только одна устойчивая точка. Поэтому линия из этой точки должна идти не вправо-вверх, а входить в неё справа-сверху

А "точка на склоне" - это тоже специальный термин?

Судя по правому из приведённых Вами рисунков, этих точек целый континуум, а не только 3?

Получается, что линии движения системы в этих точках изламываются углом, а не плавно?

[Alexy]

Кстати, а что такое седло-фокус (часто употребляемый Базыкиным термин)? Это же что-то другое, чем просто седло?

[AdmiralHood]

Сейчас взял из книжки Базыкина систему уравнений попытался смоделировать поведение системы при разных коэффициентах и разных начальных значениях х и у. Появилась определённая ясность.

Четверть круга – это граница, которую невозможно пересечь, если начальная точка находится внутри. В зависимости от того, как выбрать начальную точку, фазовая траектория может проходить ближе или дальше от этой границы, может практически совпасть с ней изнутри, но пересечь её не может.

Сама четверть круга – это невозможная фазовая траектория. Т.е. система не может двигаться по ней без постороннего вмешательства. Возьмём, например, точку x=0, y=0. Из этой точки система никуда не уйдёт, потому что некому размножаться. Если добавить пару антилоп (неких условных абстрактных антилоп), то количество антилоп будет увеличиваться по мере их размножения (т.е. фазовая траектория совпадёт с осью х), пока не дойдёт до точки равновесия (правый нижний угол четверти круга). В этой точке без постороннего вмешательства система снова остановится. Если добавим пару кроликов (опять же, условных), то они начнут размножаться, но при этом начнут конкурировать за хавчик с антилопами, поэтому по мере увеличения числа кроликов число антилоп будет постепенно уменьшаться и фазовая траектория пойдёт по криволинейной части четверти круга.

Если же начальную точку взять внутри четверти круга, то фазовая траектория будет похожа на треугольник со скруглёнными углами, как я рисовал на правом рисунке.

В теории диф. уравнений эта линия называется нуль-изоклиной, фазовая траектория её никогда не пересекает (точнее, формально угол пересечения равен  0, то есть если фазовая траектория проходит достаточно близко от нуль-изоклины, то она проходит практически параллельно ей). Можно сказать, что нуль-изоклина это нечто типа водораздела, вся водичка остаётся внутри.

[AdmiralHood]

Теперь более сложный случай, когда нуль-изоклина состоит не только из четверти круга, но ещё имеются дополнительные элементы, например, спирали, закручивающиеся вокруг фокуса, как показано на левом рисунке.

Здесь принцип остается тот же самый, фазовая траектория не пересекает нуль-изоклину а плавно вписывается в неё. Точка сопряжения круговой части изоклины со спиральной действительно является седловиной, но седловиной, ограниченной с одной стороны. Грубо говоря, перевал замуровали кирпичной стенкой, в одну сторону можно спуститься, в другую нельзя.

Вот так примерно будут выглядеть фазовые траектории (синие) для сложной нуль-изоклины с фокусом

[Alexy]

Огромное спасибо!

А как будет выглядеть траектория, если начальнцю точку взять за пределами верхне-правой "стороны" 0-изоклины?

А что такое "точка на склоне" и что такое (из Базыкина) седлофокус?

[Mr. B]

А что такое "точка на склоне" и что такое (из Базыкина) седлофокус?

Подозреваю, что это уже не двумерная динамика. В двумерной особые точки могут быть лишь следующего типа: фокус (устойчивый, неустойчивый), узел (устойчивый, неустойчивый), седло и центр.

Либо, как вариант, рассматривается комплексное фазовое пространство (т.е., двумерная динамика с переменными, принимающими комплексные значения).

[AdmiralHood]

А как будет выглядеть траектория, если начальнцю точку взять за пределами верхне-правой "стороны" 0-изоклины?

А что такое "точка на склоне" и что такое (из Базыкина) седлофокус?

Это зависит от конкретной системы. Скажем, если вы возьмёте классическую систему Лоттки-Волтерра, то там в какую бы точку вы не привели систему, она начнёт описывать скруглённые треугольные петли вокруг точки равновесия. То есть 0-изоклина проходит в бесконечности. Вообще говоря, это показатель некоторой неадекватности модели. Выражаясь кулинарными терминами, модель предполагает бесконечное количество пищи у травоядных. Есть системы, у которых изоклины в виде четверти круга вообще нет.

«Точка на склоне» — это я так на бытовом уровне обозвал обычную точку, без особенностей. Если по двумерной фазовой диаграмме построить трёхмерный рельеф, полагая, что линии фазовой диаграммы направлены туда, где высота рельефа убывает (или, по крайней мере, не возрастает), то фокус будет впадиной, седло - перевалом, а обычные точки - просто точками на склоне :~)

«Седло-фокус» - это, как справедливо заметил г-н B, терминология из области трёхмерных фазовых диаграмм. Поскольку трёхмерную фазовую диаграмму трудно или даже невозможно изобразить на листе бумаги, изображают проекции. Скажем, рисуют проекции нуль-изоклин на плоскость xy и на плоскость xz. Если в некоторой точке фазовый портрет на проекции xy выглядит как фокус, а на плоскости xz - как седло, то это и есть седло-фокус. Наглядно это можно себе представить, что изоклина, выходящая из седла или входящая в него, представляет собой не обычную гладкую кривую, а некую сужающуюся спираль, которая накручивается на эту линию. Если посмотреть вдоль линии, получится спираль, сходящаяся в фокус, а сбоку - линия, которая синусоидой входит в или выходит из седловой точки.  Если на проекции сбоку изображать не саму спиралевидную изоклину, а ось спирали, получится обычное седло.